Công thức nguyên hàm cơ bản thường gặp nhất
Bảng các nguyên hàm cơ bản
Bảng nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0)
Thực ra, ta đã sử dụng đặc điểm sau đây: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:
Bảng nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)
Định nghĩa và công thức Nguyên hàm
Định nghĩa
Cho hàm số f(x) được xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Bạn đang xem: ✅ Công thức nguyên hàm ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.
Định lí 1:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, trong đó C là một hằng số.
Do đó F(x) + C; C ∈ R là tập tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Tính chất của nguyên hàm
• (∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
• Nếu F(x) có đạo hàm, thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
• ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số và k ≠ 0.
• ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.
Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Một số phương pháp tính nguyên hàm
Phương pháp đổi biến
Đổi biến dạng 1
a. Định nghĩa.
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:
∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
b. Phương pháp giải
Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính đạo hàm hai vế của t: dt = φ'(t)dt.
Bước 3: Biểu diễn: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Bước 4: Từ đó tính: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp đổi biến loại 2
a. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:
∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt
b. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính đạo hàm hai vế của x: dx = φ'(t)dt.
Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Bước 4: Từ đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Phương pháp nguyên hàm từng phần
a. Định lí
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx
Hay ∫udv = uv – ∫vdu
(với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)
b. Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx
Xem thêm : ✅ Công thức bất đẳng thức ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Bước 2: Đặt:
c. Các dạng thường gặp
Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
sau đó thay vào I.
Những điểm sai thường gặp khi giải bài tập liên quan đến bảng nguyên hàm
Đa số khi giải dạng đề này các bạn thường mắc phải các sai lầm như:
– Hiểu sai bản chất công thức
– Cẩu thả, dẫn đến tính sai nguyên hàm
– Không nắm vững định nghĩa về nguyên hàm, tích phân
– Đổi biến số nhưng quên đổi cận
– Đổi biến không tính đạo hàm
– Không nắm vững phương pháp nguyên hàm từng phần
Dưới đây sẽ là một số lỗi sai cụ thể mà người giải đề thường xuyên gặp phải khi giải các đề toán liên quan đến bảng nguyên hàm. Các bạn hãy cùng theo dõi để tránh gặp phải tương tự nhé!
- Nhớ nhầm công thức của nguyên hàm
Nguyên nhân: nền tảng của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là muốn giải được nguyên hàm trước tiên bạn cần học hoặc tìm hiểu về đạo hàm trước đã. Và cũng vì thế mà khi chưa hiểu rõ được bản chất của hai định nghĩa này bạn có thể dễ bị nhầm lẫn giữa cả hai, nhầm công thức này qua công thức kia.
Khắc phục: học vững bảng nguyên hàm cơ bản, luyện tập thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng số đề cho hay không.
- Không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Khắc phục: đọc và nắm kỹ định nghĩa tích phân. Tạo thói quen khi tính ∫f(x)dx nhớ kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn hay không. Lưu ý đặc biệt, nếu hàm số không liên tục trên đoạn, nghĩa là tích phân đó không tồn tại!
- Nhớ nhầm tính chất tích phân nguyên hàm
Nguyên nhân: thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần thì có nhiều bạn thường tự sáng tạo ra quy tắc nguyên hàm của một tích. Lỗi sai này rất nghiêm trọng nhưng cũng rất phổ biến.
Khắc phục: đọc lại và nắm vững tính chất của nguyên hàm và tích phân
- Vận dụng sai công thức nguyên hàm
Nguyên nhân: vì dạng đề và công thức bảng nguyên hàm rất nhiều nên nhiều trường hợp các bạn áp dụng sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức kia
Khắc phục: cẩn thận và tỉ mỉ là một yếu tố cực kỳ cần thiết dành cho môn toán, tại vì nhiều khi chỉ cần sai một con số nhỏ hoặc một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng cũng như trong bài toán nói chung thì mọi kết quả sẽ trở nên không đúng.
Do đó, hãy học thuộc vững bảng nguyên hàm và các công thức nguyên hàm cơ bản. Hiểu đúng dạng đề để tránh sử dụng công thức sai. Tính toán cẩn thận, tránh gây ra sai sót nhỏ.
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán Đại 12: Chương Nguyên Hàm Chọn Lọc
Giải bài tập Toán đại 12: Bài 1 trang 126
a. Nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
a. Xét hàm số f(x) được xác định trên tập xác định A.
Như vậy, hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên A nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc A.
Cách tính nguyên hàm từng phần:
Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên A, khi đó:
∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx
Ta có thể viết gọn lại là ∫udv = uv – ∫vdu.
(với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)
Ví dụ minh họa:
Kiến thức cần nhớ:
Nguyên hàm của một hàm số f(x) xác định trên tập A là một hàm số F(x) thỏa: F'(x)=f(x) với mọi x thuộc tập A. Có vô số hàm thỏa mãn đều kiện trên, tập hợp chúng sẽ thành họ nguyên hàm của f(x).
Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần, nên lưu ý lựa chọn hàm u, v. Một số dạng thường gặp:
Giải bài tập Toán đại 12: Bài 2 trang 126
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Ví dụ cụ thể.
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tính là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
b. Tích phân có những tính chất sau:
Kiến thức bổ sung:
+ Để tính một số tích phân hàm hợp, ta cần đổi biến, dưới đây là một số cách đổi biến thông dụng:
+ Nguyên tắc sử dụng đặt u, v khi dùng công thức tính phân từng phần, ưu tiên thứ tự sau khi chọn u: Logarit -> Đa thức -> Lượng giác = Mũ.
Giải bài tập Toán đại 12: Bài 3 trang 126
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)
b. f(x)= sin(4x).cos2(2x)
d. f(x) = (ex – 1)3
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6×3 – 11×2 + 6x – 1
Suy ra
b. Ta có:
Suy ra:
c. Ta có:
Suy ra:
d. Đối với bài này, bạn đọc có thể giải bằng cách khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ, tuy nhiên chúng tôi muốn giới thiệu cách đặt ẩn phụ để tìm nguyên hàm.
Đặt t=ex
Suy ra: dt=exdx=tdx, vì vậy
Ta sẽ có:
Với C’=C-1
Kiến thức cần nhớ:
Một số nguyên hàm thông dụng cần nhớ:
Giải bài tập Toán đại 12: Bài 4 trang 126
Tính một số nguyên hàm sau:
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
Kiến thức bổ sung
Một số công thức nguyên hàm thường gặp:
Giải bài tập toán đại 12 nâng cao
Đề THPT Chuyên KHTN lần 4:
Cho các số nguyên a, b thỏa mãn:
Tính tổng P=a+b?
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán kết hợp tính tích phân của 1 hàm là tích của hai hàm khác dạng, kiểu (đa thức)x(hàm logarit). Vì vậy, cách giải quyết thông thường là sử dụng tích phân từng phần.
Ta có:
Đề thi thử Sở GD Bình Thuận:
Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(3)=3, tích phân: . Hãy tính:
Xem thêm : ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán tính tích phân dạng hàm ẩn, tích phân cần tính lại là dạng 1 hàm số cụ thể nhân với 1 hàm chưa biết, như vậy cách giải quyết thường gặp sẽ là đặt ẩn phụ cho hàm, đồng thời sử dụng công thức tính tích phân từng phần.
Ở đây các bạn sẽ đặt: t=x+1, khi đó:
Kiến thức bổ sung:
+ Như vậy ở đây, một cách để nhận biết khi nào sẽ sử dụng tích phân từng phần là bài toán yêu cầu tính tích phân của hàm có dạng f(x).g(x), trong đó f(x) và g(x) là những hàm khác dạng nhau, có thể là hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Một số kiểu đặt đã được đề cập ở mục phía trước, bạn có thể tham khảo lại ở phía trên.
+ Một số công thức tính nguyên hàm của hàm vô tỷ:
Nguồn: https://vatlytuoitre.com
Danh mục: Định luật
