CÁCH  VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

  1. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bắt buộc chọn hệ quy chiếu (chọn gốc toạ độ tại VTCB, gốc thời gian, chiều dương của trục Ox) trước khi viết (thường bài toán trắc nghiệm thì đề chọn sẵn rồi).

Gọi phương trình dao động điều hoà cần viết là  \( x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi  \right) \) ; từ đó suy ra các phương trình  \( v=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi  \right) \) ;  \( a=-{{\omega }^{2}}x \) ;  \( F=ma=-m.{{\omega }^{2}}x \)  để dùng (nếu đề có đề cập tới)

  • Bước 1: Tìm tần số góc \( \omega \) . Có thể áp dụng các công thức gợi ý dưới

 \( \omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}=2\pi \frac{N}{\Delta t}=\frac{v}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{\left| {{a}_{m\text{ax}}} \right|}{A}}=\frac{\left| {{v}_{\max }} \right|}{A}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \)

  • Bước 2: Tìm biên độ. Có thể liệt kê các công thức liên quan đến biên độ đã được học (tuỳ đề cho gì để liệt kê mà tiện sử dụng). Thường gặp kiểu đề cho li độ, vận tốc, gia tốc thì dùng công thức dưới đây:
  • Ta có: \( A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{1}}}}=\sqrt{{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} \)
  • Bước 3: Tìm pha ban đầu \( {{\varphi }_{0}} \) (thường ta lấy  \( -\pi <{{\varphi }_{0}}<\pi  \) ). Dựa vào điều kiện ban đầu.

Tại thời điểm  \( t=0 \) ta có: \( \cos \varphi =\frac{{{x}_{0}}}{A};\sin \varphi =\frac{{{v}_{0}}}{-\omega A}\Rightarrow \varphi  \) ;

Có thể nhớ mẹo: tại  t = 0; Nếu v > 0 thì chọn  \( \varphi  \) < và ngược lại Nếu v < 0 thì chọn  \( \varphi  \) >0

  1. BÀI TẬP MINH HOẠ

 

Ví dụ 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=5\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                       

B.  \( x=5\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                      

C.  \( x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                         

D.  \( x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)

Lời giải

Ta có:  \( \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi (rad/s) \)

Phương trình dao động của vật có dạng:  \( x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right) \) cm

Tại  \( t=0 \) ta có:  

\( \begin{cases} x=5\cos \varphi =0 \\ v=-5\pi \sin \varphi >0 \end{cases} . \Leftrightarrow \varphi =- \frac{\pi }{2}. \)  Chọn C.

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:

A.  \( x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                    

B.  \( x=5\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                   

C.  \( x=5\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                 

D.  \( x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)

Lời giải

Ta có:  \( \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }rad/s. \)

Phương trình dao động của vật có dạng  \( x=5\cos \left( 2\pi t+\varphi  \right) \) .

Tại thời điểm  \( t=0 \)  ta có:  \( \begin{cases}  & c\text{os}\varphi =0 \\  & -\sin \varphi >0 \\ \end{cases} .\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}. \)  Chọn A.

Ví dụ 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Trong thời gian 31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ  \( 40\sqrt{3}\text{ }cm/s \) . Lấy  \( \pi =3,14 \) , phương trình dao động của chất điểm là:

A.  \( x=4\cos \left( 20t-\frac{\pi }{3} \right)(cm). \)                                       

B.  \( x=6\cos \left( 20t+\frac{\pi }{6} \right)(cm). \)                                       

C.  \( x=6\cos \left( 20t-\frac{\pi }{6} \right)(cm). \)                                       

D.  \( x=4\cos \left( 20t+\frac{\pi }{3} \right)(cm). \)

Lời giải

Chu kì dao động là  \( T=\frac{31,4}{100}=\frac{\pi }{10}(s)\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\text{ }(rad/s). \)

Ta có:  \( A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{4+{{\left( \frac{40\sqrt{3}}{20} \right)}^{2}}}=4\text{ }(cm). \)

Phương trình dao động của vật có dạng:  \( x=4\cos \left( 20t+\varphi  \right)(cm). \)

Tại thời điểm  t=0, ta có:  \( \begin{cases} & c\text{os}\varphi =\frac{1}{2} \\ & -\sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{cases}. \Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}. \)  Chọn D.

Ví dụ 4: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 5 cm thì vật có vận tốc là  \( 12\pi \text{ }cm/s \) . Chọn mốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là.

A.  \( x=13\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                  

B.  \( x=13\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                   

C.  \( x=12\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)                                   

D.  \( x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)

Lời giải

Ta có:  \( \omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \text{ }(rad/s). \)  Lại có hệ thức độc lập với thời gian  \( {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \)

Suy ra  \( A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\text{ }(cm) \) . PT của vật  \( x=13\cos \left( \pi t+\varphi  \right) \) .

Tại  \( t=0 \)  ta có:  \( \begin{cases}  & x=13\cos \varphi =0 \\ & v=-13\pi \sin \varphi <0 \\ \end{cases} .\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow  \) PTDĐ  \( x=13\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)(cm). \)  Chọn D.

Ví dụ 5: Một vật nhỏ dao động điều hòa có phương trình dạng  \( x=Ac\text{os}\left( \omega t+\varphi  \right)\text{ }(cm) \) . Tại thời điểm ban đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng 4 cm, vận tốc và gia tốc của vật lúc đó lần lượt là  \( -20\pi \sqrt{3}\text{ }cm/s \)  và  \( -100{{\pi }^{2}}\text{ }cm/{{s}^{2}} \) . Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm). \)                                   

B.  \( x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{6} \right)(cm). \)                                    

C.  \( x=8\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{3} \right)(cm). \)                                    

D.  \( x=16\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{6} \right)(cm). \)

Lời giải

Ta có:  \( \begin{cases} & \left| x \right|=4 \\ & v=-20\pi \sqrt{3} \\ & a=-100{{\pi }^{2}}=-{{\omega }^{2}}x \\ \end{cases}.\Rightarrow \left\{ \begin{cases}  & x=4\text{ cm} \\ & \omega =5\pi  \\ & v=-20\pi \sqrt{3} \\ \end{cases} \right.\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=8\left( cm \right). \)

Giả sử phương trình dao động của vật là  \( x=8\cos \left( 5\pi t+\varphi  \right). \)

Tại  \( t=0 \)  ta có:  \( \left\{ \begin{cases}   & x=8\cos \varphi =4 \\  & v=-40\pi \sin \varphi =-20\pi \sqrt{3} \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow  \)  PTDĐ:  \( x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{3} \right)(cm). \) Chọn A.

Ví dụ 6: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox, chọn gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng của vật. Biết khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng là 1s. Lấy  \( {{\pi }^{2}}=10 \) . Tại thời điểm ban đầu vật có gia tốc  \( a=-0,1\text{ }m/{{s}^{2}} \)  và vận tốc  \( {{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3}\text{ }cm/s \) . Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=2\cos \left( \pi t-\frac{5\pi }{6} \right)\left( cm \right). \)                     

B.  \( x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right). \)                      

C.  \( x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right). \)                      

D.  \( x=4\cos \left( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right). \)

Lời giải

Khoảng thời gian 2 làn liên tiếp vật đi qua VTCB là:  \( \Delta t=\frac{T}{2}=1s\Rightarrow T=2s\Rightarrow \omega =\pi \text{ }\left( rad/s \right). \)

Ta có:  \( \left\{ \begin{cases}  & {{v}_{0}}=-\pi \sqrt{3} \\ & a=-10=-{{\omega }^{2}}x \\\end{cases} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{cases} &{{x}_{0}}=1\text{ }cm \\ & A=\sqrt{x_{0}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{0}}}{\omega } \right)}^{2}}}=2\text{ cm} \\\end{cases} \right. \)
Giả sử phương trình dao động của vật là  \( x=2\cos \left( \pi t+\varphi  \right). \)

Tại  \( t=0 \)  ta có:  \( \begin{cases}  & x=2\cos \varphi =1 \\ & v=-2\pi \sin \varphi =-\pi \sqrt{3} \\ \end{cases}.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow  \) PTDĐ:  \( x=2\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right). \)  Chọn C.

Ví dụ 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 8 cm. Khi đi qua vị trí cân bằng vận tốc có độ lớn  \( 40\pi \text{ }cm/s \) . Gọi mốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí  \( 2\sqrt{3} \) theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. \)                                     

B.  \( x=4\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm. \)                                    

C.  \( x=2\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. \)                                     

D.  \( x=2\cos \left( 0\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm. \)

Lời giải

Biên độ dao động là  \( A=\frac{\ell }{2}=4\text{ cm}\text{.} \)

Lại có:  \( \omega A=40\pi \Rightarrow \omega =10\pi \left( rad/s \right). \)

Giả sử phương trình dao động của vật là  \( x=4\cos \left( 10\pi t+\varphi  \right). \)

Tại  \( t=0 \)  ta có:  \( \left\{ \begin{cases}   & x=4\cos \varphi =2\sqrt{3} \\  & v=-40\pi \sin \varphi >0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-\pi }{6}\Rightarrow  \) PTDĐ:  \( x=4\cos \left( 10\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. \)  Chọn A.

Ví dụ 8: Một vật nhỏ dao động có gia tốc biến đổi theo thời gian  \( a=8\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m/{{s}^{2}}. \)  Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=0,02\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                    

B.  \( x=2\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                          

C.  \( x=4\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)                                         

D.  \( x=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)

Lời giải

Ta có:  \( a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow x=\frac{a}{-{{\omega }^{2}}}=-0,02\cos \left( 20t-\frac{\pi }{2} \right)m. \)

Do đó  \( a=2\cos \left( 20t+\frac{\pi }{2} \right)cm. \)  Chọn D.

Ví dụ 9: Một vật nhỏ dao động điều hòa với vận tốc ban đầu là  \( 4\text{ }m/s \) và gia tốc là  \( 40\sqrt{3}\text{ }m/{{s}^{2}} \) . Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì vật có vận tốc là  \( \text{8 }m/s \) . Phương trình dao động của vật là:

A.  \( x=0,8\cos \left( 10t-\frac{\pi }{6} \right)m. \)                                         

B.  \( x=0,8\cos \left( 10t-\frac{5\pi }{6} \right)m. \)                                       

C.  \( x=0,4\cos \left( 10t+\frac{\pi }{6} \right)m. \)                                        

D.  \( x=0,4\cos \left( 10t-\frac{\pi }{6} \right)m. \)

Lời giải

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì  \( v={{v}_{\max }}=8\text{ }m/s. \)

Ta có:  \( {{\left( \frac{{{v}_{0}}}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}_{0}}}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{0}}=\frac{{{a}_{\max }}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{a}_{\max }}=80\text{ }m/{{s}^{2}}. \)

Do đó  \( \omega =\frac{{{a}_{\max }}}{{{v}_{\max }}}=10\left( rad/s \right),\text{ }A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=0,8\text{ }m. \)

Tại thời điểm ban đầu  \( \left\{ \begin{cases}   & A\cos \varphi =-0,4\sqrt{3} \\  & \sin \varphi <0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{-5\pi }{6}. \)  Chọn B.

Ví dụ 10: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm  \( t=0 \) , vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A.  \( x=5\cos \left( 2\pi t-\pi /2 \right)\left( cm \right). \)                                 

B.  \( x=5\cos \left( 2\pi t+\pi /2 \right)\left( cm \right). \)                                 

C.  \( x=5\cos \left( \pi t-\pi /2 \right)\left( cm \right). \)                                   

D.  \( x=5\cos \left( 2\pi t+\pi /2 \right)\left( cm \right). \)

Lời giải

Ta có:  \( A=5\text{ }cm,\text{ }\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right). \)

Phương trình dao động của vật có dạng:  \( x=5\cos \left( \pi t+\varphi  \right). \)

Tại  \( t=0 \)  ta có:  \( \left\{ \begin{cases}  & x=5\cos \varphi  \\ & v=-5\pi \sin \varphi >0 \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{2}. \)  Chọn C.

Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với tần số 3Hz, quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ O. Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm. Tại thời điểm  \( t=\frac{1}{18}\left( s \right) \)  vật có vận tốc  \( v=-30\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right) \)  và di chuyển chậm dần. Phương trình dao động của vật là?

A.  \( x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm. \)                                    

B.  \( x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm. \)                                     

C.  \( x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. \)                                     

D.  \( x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm. \)

Lời giải

Tần số góc của vật là  \( \omega =2\pi f=6\pi \left( rad/s \right). \)

Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm  \( \Rightarrow  \) Biên độ dao động của chất điểm là  \( A=10cm \)

Khi  \( v=-30\pi \sqrt{3} \) , áp dụng hệ thức độc lập ta có  \( x=\sqrt{{{A}^{2}}-\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=5cm \)

Vật đang chuyển động chậm dần  \( \Rightarrow x=-5cm \)  và lúc này có  \( v<0 \)

 \( \Rightarrow  \) Pha dao động tại thời điểm  \( t=\frac{1}{18}\left( s \right) \) là  \( \varphi =\frac{2\pi }{3}\left( rad \right) \)

Pha dao động của một thời điểm được xác định bởi:  \( \omega t+{{\varphi }_{0}}=\varphi  \)

 \( \Rightarrow 6\pi .\frac{1}{18}+{{\varphi }_{0}}=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow {{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow x=10\cos \left( 6\pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm. \) Chọn A.

Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật luôn thỏa mãn hệ thức  \( \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1 \) . Tại thời điểm  \( t=\frac{2}{3}\left( s \right) \)  vật đang ở li độ  \( x=2,5cm \) và di chuyển nhanh dần. Lấy  \( {{\pi }^{2}}=10 \) . Phương trình dao động của vật là?

A.  \( x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)cm. \)                                        

B.  \( x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm. \)                                         

C.  \( x=5\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{6} \right)cm. \)                                        

D.  \( x=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{6} \right)cm. \)

Lời giải

Hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc:  \( {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{m\text{ax}}}} \right)}^{2}}=1 \)

Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật thỏa mãn  \( \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{v}^{2}}}{250}=1\Rightarrow \left\{ \begin{cases}  & A=5\text{ }cm \\  & {{v}_{m\text{ax}}}=5\pi  \\ \end{cases} \right. \)

Tần số góc của vật là  \( \omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}=\pi \left( rad/s \right) \)

Tại thời điểm  \( t=\frac{2}{3}\left( s \right) \)  vật đang ở li độ  \( x=2,5cm \)  và chuyển động nhanh dần

 \( \Rightarrow  \) Pha dao động lúc này là  \( \varphi =\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\Rightarrow \omega t+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}+{{\varphi }_{0}}=\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow {{\varphi }_{0}}=-\frac{\pi }{3}\left( rad \right) \)

Phương trình dao động là  \( x=Ac\text{os}\left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right)=5\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{3} \right)cm. \)  Chọn B.

 

 

 

 

 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.