Quan hệ giữa vuông pha giữa các đại lượng điện xoay chiều

Thiết lập công thức rút gọn về mối liên hệ giữa các giá trị tức thời và các giá trị hiệu dụng (hoặc các giá trị cực đại)
a. Đối với đoạn mạch chỉ có điện trở thuần R.
Ta có \({{u}_{R}}={{U}_{0R}}\cos (\omega t)\) (V) \(\Rightarrow \cos \omega t=\frac{u}{{{U}_{0R}}}\)
\(i=\frac{u}{R} \) (a)
i\(=\frac{{{U}_{0R}}}{R}\cos \omega t={{I}_{0R}}\cos \omega t\) (A)\(\Rightarrow \cos \omega t=\frac{i}{{{I}_{0}}}\)
\(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}=2{{\cos }^{2}}(\omega t)\) (1)
b. Đối với đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L.
Ta có: dòng điện trong mạch là : \( i={{I}_{0}}\cos \omega t \) (A) \(\Rightarrow \cos \omega t=\frac{i}{{{I}_{0}}}\) (*)
Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch: \({{u}_{L}}={{U}_{0L}}\cos (\omega t+\frac{\pi }{2})=-{{U}_{0L}}\sin \omega t\)
\(\Rightarrow \sin \omega t=-\frac{{{u}_{L}}}{{{U}_{0L}}}\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{L}^{2}}{U_{0L}^{2}}=1\) (2)
c. Đối với đoạn mạch chỉ có tụ điện có điện dung C.
Ta có: dòng điện trong mạch là : \(i={{I}_{0}}\cos \omega t \) (A) \(\Rightarrow \cos \omega t=\frac{i}{{{I}_{0}}}\) (***)
Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch: \({{u}_{C}}={{U}_{0C}}\cos (\omega t-\frac{\pi }{2})={{U}_{0C}}\sin \omega t\)
\(\Rightarrow \sin \omega t=\frac{{{u}_{C}}}{{{U}_{0C}}}\) (****)
Từ (***) và (****) \(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{C}^{2}}{U_{0C}^{2}}=1\) (3)
d. Đối với đoạn mạch chứa điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C.
Ta có: dòng điện trong mạch là : \(i={{I}_{0}}\cos \omega t\) (A)
Khi đó điện áp giữa hai đầu điện trở và điện áp ở hai đầu tụ điện vuông pha
nhau.
\(\left\{ \begin{align}
& {{u}_{R}}={{U}_{0R}}\cos \omega t \\
& {{u}_{C}}={{U}_{0C}}\cos (\omega t-\frac{\pi }{2})={{U}_{0C}}\sin \omega t \\
\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos \omega t=\frac{{{u}_{R}}}{{{U}_{0R}}} \\
& \sin \omega t=\frac{{{u}_{C}}}{{{U}_{0C}}} \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}+\frac{u_{C}^{2}}{U_{0C}^{2}}=1\) (4)
e. Đối với đoạn mạch chứa cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C.
Ta có: dòng điện trong mạch là : \(i={{I}_{0}}\cos \omega t\) (A)
Khi đó điện áp giữa hai đầu đoạn mạch vuông pha với cường độ dòng điện
giữa hai đầu đoạn mạch.
Biểu thức điện áp gữa hai đầu đoạn mạch là:
(V)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos \omega t=\frac{i}{{{I}_{0}}} \\
& \sin \omega t=\mp \frac{{{u}_{LC}}}{{{U}_{0LC}}} \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{LC}^{2}}{U_{0LC}^{2}}=1\) (5)
f. Đối với đoạn mạch chứa điện trở thuần R và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L.
Giả sử dòng điện trong mạch là : \(i={{I}_{0}}\cos \omega t\) (A) Khi đó điện áp giữa hai đầu điện trở và điện áp ở hai đầu cuộn cảm vuông
pha nhau.
Ta có: \(\left\{ \begin{align}
& {{u}_{R}}={{U}_{0R}}\cos \omega t \\
& {{u}_{L}}={{U}_{0L}}\cos (\omega t+\frac{\pi }{2})=-{{U}_{0L}}\sin \omega t \\
\end{align} \right. \)  \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos \omega t=\frac{{{u}_{R}}}{{{U}_{0R}}} \\
& \sin \omega t=-\frac{{{u}_{L}}}{{{U}_{0L}}} \\
\end{align} \right. \)
\(\Rightarrow \frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}+\frac{u_{L}^{2}}{U_{0L}^{2}}=1\) (6)
g. Đối với đoạn mạch có điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L ghép nối tiếp.
Giả sử dòng điện qua mạch là \(i={{I}_{0}}\cos \omega t\) (A)
Khi đó điện áp giữa hai đầu điện trở thuần \(u{}_{R} \) vuông pha với điện áp giữa
hai đầu cuộn dây và tụ điện \({{u}_{LC}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{align}
& {{u}_{R}}={{U}_{0R}}\cos \omega t \\
& {{u}_{LC}}={{u}_{L}}+{{u}_{C}}={{U}_{0LC}}\cos (\omega t\pm \frac{\pi }{2})=\mp {{U}_{0LC}}\sin \omega t \\
\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos \omega t=\frac{{{u}_{R}}}{{{U}_{0R}}} \\
& \sin \omega t=\mp \frac{{{u}_{L}}+{{u}_{C}}}{{{U}_{0LC}}} \\
\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}+\frac{{{({{u}_{L}}+{{u}_{C}})}^{2}}}{U_{0LC}^{2}}=1\) hay \(\Rightarrow \frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}+\frac{u_{LC}^{2}}{U_{0LC}^{2}}=1\) (7)

h.Với hai đoạn mạch bất kì vuông pha nhau.
Ta luôn có : \(\frac{u_{1}^{2}}{U_{01}^{2}}+\frac{u_{2}^{2}}{U_{02}^{2}}=1 \) (8)
Thực vậy ta có: \({{u}_{_{1}}}={{U}_{01}}\cos \omega t \) thì \({{u}_{_{2}}}={{U}_{02}}\cos (\omega t\pm \frac{\pi }{2})=\mp {{U}_{02}}\sin \omega t \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \cos \omega t=\frac{{{u}_{1}}}{{{U}_{01}}} \\
& \sin \omega t=\mp \frac{{{u}_{2}}}{{{U}_{02}}} \\
\end{align} \right.\)
Bình phương hai vế rồi cộng hai phương trình với nhau ta được biểu thức (8)
1. Một số hệ quả rút ra từ các công thức rút gọn về mối liên hệ.
a. Hệ quả 1 ( rút ra từ công thức (2) và công thức (3) )
\(\frac{{{u}_{L}}}{{{u}_{C}}}=-\frac{{{U}_{0L}}}{{{U}_{0C}}}=\frac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}}\)
Chứng minh hệ quả 1.
Thật vậy từ (2) và (3) ta có:
\(\left\{ \begin{align}
& \frac{u_{C}^{2}}{U_{0C}^{2}}+\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}=1 \\
& \frac{u_{L}^{2}}{U_{0L}^{2}}+\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}=1 \\
\end{align} \right. \) \(\Rightarrow \frac{u_{C}^{2}}{U_{0C}^{2}}=\frac{u_{L}^{2}}{U_{0L}^{2}} \) \(\Rightarrow \frac{{{u}_{L}}}{{{u}_{C}}}=-\frac{{{U}_{0L}}}{{{U}_{0C}}} \) (Do \({{u}_{L}} \) ngược pha với \({{u}_{C}} \) Mà \({{U}_{0L}}={{I}_{0}}{{Z}_{L}} \) và \({{U}_{0C}}={{I}_{0}}{{Z}_{C}}\) \(\Rightarrow \) \(\frac{{{u}_{L}}}{{{u}_{C}}}=-\frac{{{U}_{0L}}}{{{U}_{0C}}}=\frac{{{Z}_{L}}}{{{Z}_{C}}} \) (đpcm)
b. Hệ quả 2 ( rút ra từ biểu thức (a))
\(\left\{ \begin{align}
& \frac{U}{{{U}_{0}}}-\frac{I}{{{I}_{0}}}=0 \\
& \frac{u}{U}-\frac{i}{I}=0 \\
& \frac{U}{{{U}_{0}}}+\frac{I}{{{I}_{0}}}=\sqrt{2} \\
\end{align} \right.\)
Chứng minh:
Ta có : \(i=\frac{u}{R}\Rightarrow R=\frac{u}{i}=\frac{U}{I}=\frac{{{U}_{0}}}{{{I}_{0}}} \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& \frac{U}{{{U}_{0}}}=\frac{I}{{{I}_{0}}} \\
& \frac{u}{U}=\frac{i}{I} \\
& \frac{U}{{{U}_{0}}}=\frac{I}{{{I}_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}
& \frac{U}{{{U}_{0}}}-\frac{I}{{{I}_{0}}}=0 \\
& \frac{u}{U}-\frac{i}{I}=0 \\
& \frac{U}{{{U}_{0}}}+\frac{I}{{{I}_{0}}}=\sqrt{2} \\
\end{align} \right.\) (đpcm)
c. Hệ quả 3. (rút ra từ biểu thức (1))
\(\frac{u_{R}^{2}}{U_{R}^{2}}+\frac{{{i}^{2}}}{{{I}^{2}}}=2(1+\cos 2\omega t) \)
Chứng minh.
Thật vậy từ (1): \(\frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}=2{{\cos }^{2}}(\omega t) \)
\(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{I_{0}^{2}}+\frac{u_{R}^{2}}{U_{0R}^{2}}=2(\frac{1+\cos 2\omega t}{2})=1+\cos 2\omega t \)
\(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{2{{I}^{2}}}+\frac{u_{R}^{2}}{2U_{R}^{2}}=1+\cos 2\omega t \)
\(\Rightarrow \frac{{{i}^{2}}}{{{I}^{2}}}+\frac{u_{R}^{2}}{U_{R}^{2}}=2(1+\cos 2\omega t) \) (đpcm)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.