Tóm tắt lý thuyết
Trong nhiều vấn đề thực tế, chúng ta thường gặp tình huống mà một phép thử được lặp lại nhiều lần. Trong mỗi phép thử, có thể xảy ra hoặc không xảy ra một biến cố A nào đó và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong tập hợp các phép thử. Ví dụ, khi sản xuất một loạt chi tiết, ta quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn trong quá trình sản xuất. Vấn đề này có thể giải quyết dễ dàng nếu các phép thử là độc lập.
Các phép thử được gọi là độc lập nếu xác suất để xảy ra một biến cố trong từng phép thử không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không. Ví dụ, tung một đồng xu nhiều lần hoặc lấy mẫu ngẫu nhiên có hoàn lại n sản phẩm từ một lô hàng là các phép thử độc lập.
Bạn đang xem: ✅ Công thức Bernoulli ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử, chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra: biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là p và xác suất không xảy ra biến cố A là 1 – p = q. Khi đó, xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử có thể được tính bằng công thức Bernoulli sau:
(k = 0, 1, 2,…, n)
Chứng minh: Gọi Ai là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,…, n). Suy ra
sẽ là biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra”. Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”. B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k phép thử đầu, A xảy ra, còn n-k phép thử sau A không xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:
Xem thêm : ✅ Công thức ed ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐
Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn n-k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:
Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng
và biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.
Giả thuyết Bernoulli là gì? Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê
Giả thuyết Bernoulli là gì?
Giả thuyết Bernoulli là lời giải của nhà toán học Daniel Bernoulli (thế kỷ 19) cho một nghịch lý nổi tiếng được gọi là “nghịch lý Xanh Pê-téc-bua”.
Nghịch lý này liên quan đến việc giải thích tại sao con người không chi tiền để chơi trò chơi sau: Một đồng tiền được tung lên và tiếp tục tung cho đến khi xuất hiện mặt ngửa. Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ hai, người chơi nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ, 4 đồng). Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ ba, người chơi nhận được 2³ đơn vị tiền thưởng, và tiếp tục như vậy. Tổng xác suất nhận được tiền thưởng phải bằng 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng là một giá trị vô hạn. Vì vậy, dường như người chơi sẽ phải chi một số tiền lớn để chơi trò chơi này.
Để giải thích vì sao mọi người chấp nhận chơi trò chơi này, Bernoulli lập luận rằng người chơi quan tâm đến lợi ích của phần thưởng hơn là giá trị tiền thưởng chính nó. Bằng cách đưa ra giả thuyết về sự suy giảm biên của lợi ích của thu nhập, Bernoulli chỉ ra rằng một trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng là một giá trị tiền vô hạn, nhưng có giá trị kỳ vọng tính bằng lợi ích hữu hạn. Do đó, mọi người quan tâm đến giả thuyết này vì đây là nỗ lực đầu tiên để thay thế mục tiêu tính bằng tiền với việc tối ưu hóa lợi ích trong các điều kiện có rủi ro hoặc không chắc chắn.
Phép thử Bernoulli và ứng dụng vào xác suất thống kê
Xem thêm : ✅ Công thức cấp số cộng ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
Trước đó, vào thế kỷ 17, một nhà toán học nổi tiếng khác trong gia đình Bernoulli, Jacob Bernoulli, đã phát minh ra phép thử Bernoulli. Dãy các phép thử Bernoulli được định nghĩa là khi thực hiện một thí nghiệm ngẫu nhiên nào đó n lần lặp lại. Những phép thử này được gọi là dãy các phép thử Bernoulli nếu thoả mãn các điều kiện sau:
Đây là dãy các phép thử độc lập, có nghĩa là kết quả của mỗi phép thử không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử khác.
Xác suất xảy ra biến cố A là p cho mỗi phép thử i bất kỳ.
Nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i, ta nói phép thử thứ i thành công.
Công thức của phép thử Bernoulli được viết như sau:
Công thức trên được sử dụng để tính xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong dãy n phép thử Bernoulli.
Nguồn: https://vatlytuoitre.com
Danh mục: Định luật
