✅ Công thức bất đẳng thức ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

Bất đẳng thức và ứng dụng

I. Khái niệm cơ bản về bất đẳng thức

1.1 Số dương, số âm

Nếu a là số dương, ta kí hiệu a>0

Bạn đang xem: ✅ Công thức bất đẳng thức ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

Nếu a là số âm, ta kí hiệu a<0

Nếu a là số dương hoặc a = 0, ta nói a là số không âm, kí hiệu a≥0

Nếu a là số âm hoặc a = 0, ta nói a là số không dương, kí hiệu a≤0

Chú ý: Với hai số a, b chỉ có một trong ba trường hợp sau xảy ra:

a>b hoặc a=b hoặc a<b

Phủ định của mệnh đề a>0 là a≤0

Phủ định của mệnh đề a<0 là a≥0

Bất đẳng thức từ đẳng thức (a−b)2≥0

Bất đẳng thức AM – GM (còn được gọi là bất đẳng thức Côsi)

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức vectơ)

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.

Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Tổng kết về bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

– Các mệnh đề dạng “a<b” hoặc “a>b” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

– Nếu mệnh đề “a<b ⇒ c<d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và cũng viết là a<b ⇒ c<d.

– Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a<b ⇔ c<d.

3. Tính chất của bất đẳng thức

– Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số:

a<b ⇔ a+c < b+c

– Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số:

– Với c>0: a<b ⇔ ac < bc

– Với c<0: a<b ⇔ ac > bc

– Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

a<b và c<d ⇒ a+c < b+d

– Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

– Với a>0, c>0: a<b và c<d ⇒ ac < bd

– Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

– Với n ∈ N*: a<b ⇔ a2n+1 < b2n+1

– Với n ∈ N* và a>0: a<b ⇔ a2n < b2n

– Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

Các hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

– Hệ quả 1: Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất bất đẳng thức với giá trị tuyệt đối như sau

– |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x

– Với a>0:

Xem thêm : ✅ Công thức tính diện tích hình thoi ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

|x| ≤ 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a

|x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a

– |a| – |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

Ứng dụng bất đẳng thức

* Bài 1 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x

c) 8×2 > 4×2 ; d) 8 + x > 4 + x

* Lời giải:

– Đáp án đúng: d) 8 + x > 4 + x

– Vì 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của bất đẳng thức với một số). Nên khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.

+ Các đáp án khác sai vì:

a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0

– Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x < 0 thì a sai)

b) Ta có: 4 < 8 nên để 4x > 8x thì x < 0 .

– Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x < 0

c) chỉ đúng khi x ≠ 0

* Bài 2 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.

* Lời giải:

– Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: – 1 < 0 < 1. Do đó,

→ Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.

* Bài 3 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

1) Chứng minh (b – c)2 < a2

2) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

* Lời giải:

1) (b – c)2 < a2

– Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

– Ta có: (b – c)2 – a2 = (b – c – a)(b – c + a)

Do b < a + c ⇒ b – a – c < 0 và b + a > c ⇒ b + a – c > 0.

Suy ra: (b – c – a)(b – c + a) < 0 ⇔ (b – c)2 – a2 < 0 ⇔ (b – c)2 < a2

2) Từ kết quả câu 1) ta có

a2 > (b – c)2

b2 > (a – c)2

Xem thêm : ✅ Công thức osascomp ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

c2 > (a – b)2

– Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:

a2 + b2 + c2 > (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2

⇒ a2 + b2 + c2 > b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2

⇒ a2 + b2 + c2 > 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca)

⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

* Bài 4 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Chứng minh rằng: x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0

* Lời giải:

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2

⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.

* Bài 5 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Chứng minh rằng:

+ Xét 0 ≤ t < 1 ⇒ t3 < 1 ⇒ 1 – t3 > 0 ; 1 – t > 0

t8 – t5 + t2 – t + 1 = t8 + (t2 – t5) + (1 – t) = t8 + t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0

(vì t8 ≥ 0; t2 ≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3 ≥ 1 ⇒ t3 – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

t8 – t5 + t2 – t + 1 = t5.(t3 – 1) + t.(t – 1) + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay

* Bài 6 trang 79 Sách Giáo Khoa Đại Số 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải:

– Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

MA + MB ≥ 2√MA.MB = 2. √1 = 2

Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.

Khi đó OA = √(MA2 + MO2) = √2 ; OB = √(OM2 + MB2) = √2.

Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên A(√2; 0); B(0; √2)

Vậy tọa độ là A(√2, 0) và B(0, √2).

Nguồn: https://vatlytuoitre.com
Danh mục: Định luật